파이썬으로 수치미분 구현하기 - 중앙차분

중앙차분

전향차분, 후향차분보다 값이 정확하다.

 

delta x는 10의 -4승, 1e-4 이용

너무 작은 값을 이용하면 실수 계산에서 오류나 나타날 수 있다.

 

단변수 함수의 수치미분

[함수]

f(x) = x^2  
f'(x) = 2x

def my_func(x):
    return x **2 

def numerical_derivative(f, x):
    delta_x = 1e-4
    
    return (f(x+delta_x) - f(x-delta_x)) / (2 * delta_x)
    
print(numerical_derivative(my_func, 5)

>> 9.999999999976694

 

numberical_derivative의 인자로 my_funce라는 함수를 넣어주었는데

이는 파이썬이 일급함수(first-classes funciton)을 지원하기 때문이다.

 

---

일급함수 first-classes function

함수가 변수에 저장될 수 있다.

실제로는 변수에 저장되는 것은 아니고 변수가 함수의 레퍼런스가 되는 것이다.
때문에 함수 이름을 변수처럼 사용할 수 있고 함수를 다른 함수의 인자로 사용할 수 있게된다.

 

print(my_func)를 해보면 주소값이 나온다.

>> <function my_func at 0x000001AB4C3C5940>

 

 

다변수 함수의 수치미분, 편미분

[함수]

f(x,y) = 2x + 3xy + y^3  

 

def my_func(input_value):
    x = input_value[0]
    y = input_value[1]
    return 2*x + 3*x*y + y ** 3

필요한 변수를 my_func(x, y) 이런 방식으로 입력받는다면
이변수, 삼변수 등 변수 개수가 다른 경우마다 다르게 미분 함수를 만들어 주어야 하기 때문에

input_value로 지정하여 튜플, 리스트, ndarray로 입력받을 수 있게 한다.

import numpy as np

def numerical_derivative(f, x) : # x : ndarray [1.0, 2.0]
    delta = 1e-4
    derivative = np.zeros_like(x) # derivative_x : ndarray [0.0, 0.0]
    
    # iterator를 이용해서 입력변수 x에 대한 편미분을 수행
    it = np.nditer(x, flags=['multi_index'])
    
    while not it.finished : 
        idx = it.multi_index
        tmp = x[idx]  # tmp : 1.0
        
        x[idx] = tmp + delta  # x : [1.0001, 2.0]
        fx_plus_delta = f(x)
        
        x[idx]= tmp - delta  # x : [0.9999, 2.0]
        fx_minus_delta = f(x)
        derivative[idx] = (fx_plus_delta - fx_minus_delta) / (2*delta)
        
        x[idx] = tmp  # x : [1.0, 2.0]
        it.iternext()
        
    return derivative

result = numerical_derivative(my_func, np.array([1.0, 2.0]))
print(result)

>> [ 8.         15.00000001]